|A+E| = |A + AA'| = |A(A'+E)| = |A||A'+E|
= |A| |(A+E)'|
=|A| |A+E|
= - |A+E|

所以 |E+A| = 0.

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• 行列式、矩阵、向量之间的差别

行列式是一个数；

矩阵是一个数表；

向量是一个数组。

延伸阅读：孟岩先生写的理解矩阵系列：

理解矩阵（一）
理解矩阵（二）
理解矩阵（三）

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• 设A为n阶方阵，且满足AA^T =E和|A|<0，证明行列式|E+A|=0